Skilgreining á andhverfu vörpunnar er svohljóðandi:

\begin{skilgr}
Látum $A$ og $B$ vera gefin mengi og $f:\; A\to B$ vera vörpun.\\
Ef til er vörpun $g:\; B\to A$ þannig að
$$f(g(b))=b\qquad \text{fyrir öll}\qquad b\in B$$
og
$$g(f(a))=a\qquad \text{fyrir öll} \qquad a\in A$$
þá kallast fallið $g$ andhverfa vörpunarinnar $f$.\\
Andhverfa vörpunarinnar $f$ er oft táknuð með $f^{-1}$.\bigskip
\end{skilgr}


Í vissum skilningi er andhverfa vörpunarinnar $f$ sú vörpun sem gerir ,,akkúrat öfugt'' við það sem vörpunin $f$ gerir.\\
Ef við förum aftur í orðalag kaflans um varpanir og föll þá er vörpunin $f^{-1}$ sú regla sem úthlutar sérhverju staki $f(a)$ í $B$ stakinu $a$ í $A$.\bigskip

Tökum dæmi um þetta:\bigskip

\begin{xmpl}
Látum $A$ vera mengi allra Íslendinga og $B$ vera mengið sem inniheldur allar íslenskar kennitölur.\\
Skilgreinum nú vörpun $k:\;A\to B$ sem úthlutar sérhverjum Íslendingi kennitölu sinni.\\
Þá er andhverfan $k^{-1}:\;B\to A$ og hún úthlutar sérhverri íslenskri kennitölu Íslendingnum sem á þá kennitölu.
\end{xmpl}

\begin{xmpl}
Skilgreinum fall $f:\; \R_+\to \R_+$ með formúlunni $f(x)=x^2$.\\
Finnið andhverfu fallsins $f$.\\
\textbf{Lausn:}\\
Skilgreiningarmengið er hér jákvæðu rauntölurnar, rótarfallið var í raun skilgreint sem andhverfa þessa falls.\\
Andhverfan er $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$, staðfestum það:\\
Fyrir sérhvert $x\in \R_+$ er $(\sqrt{x})^2=x$.\\
Fyrir sérhvert $x\in \R_+$ er $\sqrt{x^2}=x$.\\
Andhverfan hefur verið staðfest.
\end{xmpl}

\begin{xmpl}
Skilgreinum fall $f:\; \R_-\to \R_+$ með formúlunni $f(x)=x^2$.\\
Finnið andhverfu fallsins $f$.\\
\textbf{Lausn:}\\
Tökum eftir að þetta er ekki alveg sama fallið og í dæminu á undan því að skilgreiningarmengið er annað, nú er skilgreiningarmengið neikvæðu rauntölurnar. Við sjáum að ef $x$ er neikvæð rauntala þá er $\sqrt{x^2}=-x$.\\
 Til dæmis ef $x=-3$ þá fæst $\sqrt{x^2}=\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3=-(-3)=-x$.\\
 Þess vegna er andhverfufallið í þetta skiptið $f^{-1}=-\sqrt{x}$.\\
 Staðfestum það:\\
 Fyrir sérhvert $x\in\R_+$ þá er $(-\sqrt{x})^2=(\sqrt{x})^2=x$\\
 Fyrir sérhvert $x\in\R_-$ þá er $-\sqrt{x^2}=-(-x)=x$\\
 Þetta staðfestir andhverfuna.
\end{xmpl}

\begin{xmpl}
Látum $f:\;\R\to\R$ vera fall gefið með formúlunni
$$f(x)=x+4$$
Finnið andhverfu fallsins.\\
\textbf{Lausn:}\\
Skrifum $y$ í staðin fyrir $f(x)$ í formúlu fallsins.
$$y=x+4$$
Einangrum $x$ úr þessari jöfnu
$$x=y-4$$
Þetta gefur okkur að andhverfa $f$ er
$$f^{-1}(x)=x-4.$$
\end{xmpl}

\begin{xmpl}
Látum $f$ vera fall gefið með formúlunni
$$f(x)=\frac{x+5}{x-2}$$
Finnið andhverfu fallsins.\\
\textbf{Lausn:}\\
 Skrifum $y$ í staðin fyrir $f(x)$ í formúlu fallsins
$$y=\frac{x+5}{x-2}$$
Einangrum nú $x$ í þessari jöfnu:\\
Fáum
$$y(x-2)=x+5$$
Margföldum uppúr sviganum og færum yfir jafnaðarmerkið til að fá
$$yx-x=5+2y$$
Tökum $x$ útfyrir sviga vinstra megin
$$x(y-1)=5+2y$$
Deilum í gegn með $(y-1)$ til að fá
$$x=\frac{5+2y}{y-1}$$
Nú höfum við einangrað $x$ úr upphaflegu jöfnunni. Andhverfufallið okkar er þá
$$f^{-1}(x)=\frac{5+2x}{x-1}$$
(Athugum að þegar skilgreiningarmengi falls er ekki tilgreint má gera ráð fyrir að það sé stærsta mögulega skilgreiningarmengið. Skilgreiningarmengi $f$ yrði þess vegna hér $\R\setminus\{2\}$. Tveir er dregið frá menginu því annars yrði deilt með núlli. Skilgreiningarmengi andhverfufallsins $f^{-1}$ yrði $\R\setminus\{1\}$ útaf sömu ástæðu.)
\end{xmpl}