Fall $f$ er \begin{itemize} \item jafnstætt (even) ef $f(-x) = f(x), \quad \forall x \in D_f$\\ \item oddstætt (odd) ef $f(-x) = -f(x), \quad \forall x \in D_f$\\ \end{itemize}
(hér er $D_f\subseteq\mathbf{R}$)
Explanation
$f(x)=2x$, skilgreint fyrir $x\in \mathbb{R}$, er oddstætt
$f(x)=x^2$ er jafnstætt
Details
\textbf{Skilgreining:} Fall $f$ er \begin{itemize} \item jafnstætt (even) ef $f(-x) = f(x), \quad \forall x \in D_f$\\ \item oddstætt (odd) ef $f(-x) = -f(x), \quad \forall x \in D_f$\\ \end{itemize}
Ef speglað er um $y$-ás varpast punktur með hnit $(x,y)$ í punkt með hnit $(-x,y)$. Við $180^{\circ}$ snúning um $0$-punkt varpast $(x,y)$ í $(-x,-y)$.\\ Skoðum nú graf jafnstæðs falls $\left( f(-x) = f(x) \right)$:\\
Punktur á grafinu hefur hnit $(x,y)$, þar sem $y = f(x)$. Við speglun um $y$-ás varpast þessi punktur í punktinn $$ (-x,y) = \left(-x, f(x)\right) = \left( -x , f(-x) \right) $$ sem er punktur á grafinu. Athugið að hér verður að sjálfsögðu að gilda að: $$ x\in D_f \quad \Rightarrow \quad -x \in D_f $$ Grafið fellur því í sjálft sig við speglun, þ.e. grafið er \textbf{samhverft} um $y$-ás.\\
Skoðum næst graf oddstæðs falls $\left( f(-x) = -f(x) \right)$:\\ Punktur á grafinu hefur hnit $(x,y)$, þar sem $y = f(x)$. Við $180^{\circ}$ snúning um $0$-punkt varpast þessi punktur í punkt með hnit $$ (-x,-y) = \left(-x, -f(x)\right) = \left(-x, f(-x) \right) $$ sem er punktur á grafinu. Því fellur graf oddstæðs falls í sjálft sig við slíkan snúning, þ.e. grafið er \textbf{samhverft} um núllpunktinn við snúning um $180^{\circ}$.
Examples
\textbf{Dæmi:} Ef fallið $f$ er skilgreint með $f(x)=2x$, fyrir $x\in \mathbb{R}$, gildir $f(-x)=2\cdot(–x)=-2x=-f(x)$ og $f$ er því oddstætt fall.
\textbf{Dæmi:} Ef $f(x)=x^2$, skilgreint fyrir $x\in \mathbb{R}$, gildir hins vegar $f(-x)=(–x)^2=x^2=f(x)$ og $f$ er því jafnstætt fall.