\textbf{regla de Moivre} fyrir \quad $n \in \mathbb{N}\cup\{0\}$:
$$
[\cos\theta + i\sin\theta]^n = \cos n\theta + i\sin n\theta
$$

Þetta má sanna með þrepun, þ.e. reglan gildir greinilega ef $n=0$ og ef hún gildir fyrir $n$, þá er auðvelt að sýna að hún gildi líka fyrir $n+1$ (með því að nota summuformúlu fyrir $n\theta$ og $\theta$). Þar með gildir hún fyrir $n \in \mathbb{N}\cup\{0\}$.


Sönnum næst að reglan gildi fyrir öll $n \in \mathbb{Z}$:\\
$n< 0:\quad n =-m, \quad m>0$
\begin{eqnarray*}
[\cos \theta + i \sin \theta]^n &= \left( [\cos \theta + i\sin \theta]^m \right)^{-1}\\
&= \left( \cos m\theta + i \sin m\theta \right)^{-1}\\
&= \frac{1}{\cos m\theta + i \sin m\theta}\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
&= \frac{\cos m \theta - i \sin m\theta}{\cos^2 m\theta + \sin^2 m\theta}\\\\
&= \cos (-m\theta) + i\sin(-m\theta)\\
&= \cos n \theta + i \sin n\theta
\end{eqnarray*}
Regla de Moivre gildir því fyrir öll $n \in \mathbb{Z}$