Aðalástæðan fyrir því að vilja þetta er, að hallinn er núll þar sem fallið er flatt. Við viljum finna aðferðir til að finna bestu lausnir s.s. hámarka hagnað, finna línur sem passa best í gegnum gögn o.s.frv. Allt þetta er gert með því að finna staði þar sem fall er "flatt", þ.e. þar sem halli þess er núll. Til þess þurfum við að skilgreina nákvæmlega hvað átt er við og hvernig er hægt að leysa slík verkefni.

Sjá líka sýnidæmi um hraða breytinga.

Aðalástæðan fyrir því að vilja reikna halla falls er sú, að hallinn er núll þar sem fallið er "flatt" í einhverri merkingu. Við viljum finna aðferðir til að finna bestu lausnir s.s. hámarka hagnað, finna línur sem passa best í gegnum gögn o.s.frv. Allt þetta er gert með því að finna staði þar sem fall er "flatt", þ.e. þar sem halli þess er núll. Til þess þurfum við að skilgreina nákvæmlega hvað átt er við og hvernig er hægt að leysa slík verkefni.



Afleiður má líka nálgast út frá \textbf{breytingahraða} (rate of change) og \textbf{snertilínum} (tangent lines).\\\\
Byrjum með stærð $y$ sem er fall af $x$, $y=f(x)$ og látum $x$ breytast frá $x_1$ í $x_2$;
\begin{equation*}
\Delta x = x_2 - x_1
\end{equation*}
þá breytist $y$ um
\begin{equation*}
\Delta y = f(x_2) - f(x_1) = y_2 - y_1
\end{equation*}
\textbf{Meðalhraði} breytingar í $y$ á bilinu $[x_1, x_2]$ er halli línustriksins frá $(x_1,y_2)$ til $(x_2,y-2)$:
\begin{equation*}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\end{equation*}\\

\begin{xmpl}
$y(t)$ fjarlægð frá viðmiðunarpunkti á tíma $t$:
\begin{equation*}
v_m = \frac{y(t_2) - y(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{\Delta y}{\Delta t}
\end{equation*}
er meðalhraði í $[t_1, t_2]$.
\end{xmpl}
\begin{xmpl}
$T(x)$ er hitastig á dýpi $x$ (sjávar)
\begin{equation*}
\frac{\Delta T}{\Delta x} = \frac{T(x_2) - T(x_1)}{x_2 - x_1}
\end{equation*}
er meðalhraði breytingar á hitastigi með dýpi á dýptarbilinu $[x_1, x_2]$.
\end{xmpl}
\begin{xmpl}
$C(t)$ er styrkur efnis í lausn á tíma $t$. Efnið myndast við ákveðið efnahvarf:
\begin{equation*}
\frac{\Delta C}{\Delta t} = \frac{C(t_2) - C(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{C_2 - C_1}{t_2 - t_1}
\end{equation*}
er (meðal) hraði efnahvarfsins á $[t_1, t_2]$
\end{xmpl}