$$ \frac{dy}{dx} = 2\cdot x \cdot y, \quad y(0) = 1 $$
Explanation
Deilum í gegn með $y$: $$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 2x $$ Heildum m.t.t. $x$: \begin{eqnarray*} &\int \frac{1}{y(x)} \frac{dy}{dx} \,dx = \int 2x \,dx\\ &\int \frac{1}{y} \,dy = \int 2x\,dx\\ \Rightarrow \qquad &\ln y + C_1 = x^2 + C_2\\ \end{eqnarray*}
Details
Við erum nú í aðstöðu til að leysa einfaldar diffurjöfnur:\\
Við höfum þegar sé hvernig á að leysa $$ \frac{dy}{dx} = f(x) $$ ( $y(x) = \int f(x) \, dx + C$ ) \underline{Ath:} Þetta þýðir að hallatala lausnarferils er $f(\hat{x})$ þegar $x = \hat{x}$.\\
\underline{Ath:} Fyrir fast $x$ er hallatalan sú sama, \textbf{óháð $y$}.\\
Hvað ef $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ ?\\ þ.e. hallatalan í punkti $(x,y)$ er háð bæði $x$ og $y$:\\
Examples
\underline{Dæmi:} $$ \frac{dy}{dx} = 2\cdot x \cdot y, \quad y(0) = 1 $$ Deilum í gegn með $y$: $$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 2x $$ Heildum m.t.t. $x$: \begin{eqnarray*} &\int \frac{1}{y(x)} \frac{dy}{dx} \,dx = \int 2x \,dx\\ &\int \frac{1}{y} \,dy = \int 2x\,dx\\ \Rightarrow \qquad &\ln y + C_1 = x^2 + C_2\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \Rightarrow \qquad &\ln y = x^2 + C_3\\ \Rightarrow \qquad &y(x) = e^{x^2 + C_3}\\ \Rightarrow \qquad &y(x) = e^{C_3}e^{x^2}\\ \Rightarrow \qquad &y(x) = Ce^{x^2} \end{eqnarray*} $y(0) = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 = Ce^0 = C$ $$ \Rightarrow \qquad y(x) = e^{x^2} $$ \underline{Ath:} Þetta er sá ferill í $x-y$ plani sem hefur hallatölu $2x\cdot y$ í punktinum $(x,y)$ og gengur í gegnum punktinn $(0,1)$.